中国科大学位与研究生教育
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主讲教师:Lorezo Foscolo 人气:665 更新时间: 2020年03月20日
课程摘要:Theaimofthecourseistoexploreanumberofdifferentconstructionsofnon-compacthyperkahlermanifolds,inparticularindimension4.Hyperk?hlergeometry,inJoyce’swords,“form(s)abeautifulandrichbranchofmathematics”andthecourseisanattempttodescribesomeaspectsofthistheory.Wewillstartwiththefirstexamplesofhyperk?hlermetricsgivenbyCalabi,wewillthendiscussthehyperkahlerquotientconstructionofKronheimer’sALEspaces,theTaub–NUTmetricandtheconstructionofcompletehyperk?hlermanifoldsasmodulispacesofsolutionstotheYang–Millsanti-self-dualityequations.Onemotivationforstudyingcompletenon-compactRicci-flatmanifoldsistheunderstandingofthemodulispaceofcompactEinsteinmetricsandtheirdegenerations.Asanillustrationofthispoint,wewilldescribetheconstructionoftheCalabi-YaumetricontheKummersurfacebygluingmethods.Introductiontohyperk?hlergeometry.ThegroupSp(n)asaRiemannianholonomygroup,thecurvatureofRiemannian4–manifolds,compactexamples,Calabi’smetriconT*CPnHyperkahlerquotientconstructionandALEspaces.SymplecticandK?hlerquotients,hyperk?hlerquotients,Kronheimer’sALEspaces.Gibbons–Hawkingansatz,twistorspaces.Gibbons–Hawkingansatz,theTaub–NUTmetric,gravitationalinstantons,thetwistorspaceofahyperkahlermanifold.Infinitedimensionalhyperkahlerquotients.TheYang–Millsanti-self-dualityequationsasahyperk?hlermomentmap,Kronheimer’shyperk?hlermetricsoncoadjointorbits.TheKummerconstruction.Donaldson’sgluingconstructionoftheCalabi-YaumetricontheKummersurface.References[1]Hitchin,N.,Hyper-K?hlermanifolds,SéminaireBourbaki,Vol.1991/92,Astérisque206,1992,Exp.No.748,3,137–166.[2]Joyce,D.,Riemannianholonomygroupsandcalibratedgeometry,Chapter10,OxfordGraduateTextsinMathematics,12,OxfordUniversityPress,2007.[3]Hitchin,N.,andKarlhede,A.andLindstr?m,U.andRo?ek,M.,Hyper-K?hlermetricsandsupersymmetry,Comm.Math.Phys.,CommunicationsinMathematicalPhysics,108,1987,4,535–589.[4]Donaldson,S.,Calabi-YaumetricsonKummersurfacesasamodelgluingproblem,Advancesingeometricanalysis,Adv.Lect.Math.(ALM),21,109–118,Int.Press,Somerville,MA,2012.
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